CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE
4.SERRAT EN FRENET
Definitie 30: Het osculatievlak (kusvlak) in een punt x(t0) van de kromme x(t) is de limietstand van het vlak door de raaklijn in
x(t0) en een naburig punt x(t0+Δt) op de kromme, voor Δt→0.
Stelling 31: Het osculatievlak in x(t0) is het vlak met parametervoorstelling
x(t0)+λx'(t0)+μx''(t0) en vergelijking
det(x-x(t0),x'(t0),x''(t0)=0.
Bewijs: Omdat x(t0+Δt)-x(t0)=x'(t0)+(1/2)x''(t0)Δt2 (+ termen van hogere graad), gaat de vergelijking det(x-x(t0),x'(t0),x(t0+Δt)-x(t0)) = 0 voor Δt→0 over in de vergelijking det(x-x(t0),x'(t0),x''(t0)=0.
Definitie 32: Een punt x(s0) van een volgens booglengte s geparametriseerde kromme x(s) heet buigpunt van die kromme indien κ(s) in s0
van teken wisselt (de kromtevector is dan ter plaatse 0).
Stelling 33: In de buigpunten van de kromme x(t) zijn x' en x'' evenredig.
Bewijs: Volgens opgave 20 geldt : x .. = 0 ↔ x'⊗x'' = 0.
Opgave 34: Bepaal de vergelijking van het osculatievlak in een buigpunt.
Opgave 35: Geef de vergelijking van het osculatievlak in een punt x(t) van de kubische parabool uit voorbeeld 11 iii).
Definitie 36: (triëder van Frenet)
Zij x(s) een volgens booglengte s geparametriseerde kromme.
Zij t(s) := x .(s) de eenheidsraakvector. Kies de hoofdnormaalvector n(s) met lengte 1, gelijk- of tegengesteld gericht met de kromtevector
x ..(s), zoals in de vorige paragraaf besproken.
Het osculatievlak is dus x(s)+λt(s)+μn(s).
Vul t(s),n(s) met de zogenaamde binormaalvector b(s) aan tot
een rechts orthonormaal stelsel (dit wil zeggen: b := t⊗n).
Dan heet dit stelsel t,n,b het triëder van Frenet.
Het vlak x(s)+λn(s)+μb(s) heet normalenvlak, en het vlak x(s)+λt(s)+μb(s) heet rectificerend vlak.
Opgave 37: Bepaal de vergelijkingen van deze drie vlakken in een willekeurig punt van de kubische parabool.
Stelling 38 (stelling van Serrat en Frenet):
Er bestaan functies κ(s) en τ(s) zodanig dat geldt
Bewijs: De functie κ is de krommingsfunctie, en de formule t . = κn hebben we in de vorige paragraaf besproken.
Volgens opgave 9b) is n loodrecht op n ., dus volgens opgave 8 bestaan ρ en τ zo dat n . =
ρt+τb. Volgens opgave 8 geldt ook ρ=n ..t.
Uit n.t=0 volgt door differentiëren n ..t+n.t . = 0, dus
ρ = n ..t = -n.t . = -κ.
Evenzo: omdat b loodrecht staat op b ., is b . = αt+βb.
Dan α = b ..t = -b.t . = 0, en β = b ..t =
-b.n . = -τ.
Definitie 39: De functie τ uit de stelling van Serrat en Frenet heet torsie van de kromme.
Stelling 40: κ2τ = det(x .,x ..,x ...).
Bewijs: Uit x .. = κn volgt x ... = κ .n +
κn . = κ .n + κ(-κt+τb), zodat
det(x .,x ..,x ...) =
det((1,0,0),(0,κ,0),(-κ2,κ .,κτ)) = κ2τ.
Opgave 41: Bewijs dat det(x',x'',x''') = ||x'||6det(x .,x ..,x ...),
en leid af:
τ = det(x',x'',x''')/(x'⊗x'')2