CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


21. GEODETEN


Toelichting 182 : Stel dat een auto over een oppervlak rijdt, en door de zwaartekracht van het oppervlak wordt aangetrokken in de richting van -N. Indien de bestuurder niet hoeft bij te sturen, rijdt de auto over een geodeet.
Dit is dan en slechts dan het geval als voor zijn baan x(s) geldt dat t(s+Δs) - t(s) steeds (in lineaire benadering als Δs → 0) evenredig is met N(s), dus als de hoofdnormaal n van de kromme evenredig is met de oppervlaktenormaal N. Anders gezegd: de tangentiële component x ..tang van de kromtevector moet 0 zijn.

Een andere beschrijving is de volgende.
Gegeven is een kromme op een oppervlak. De raakvlakken in de punten van de kromme omhullen een afwikkelbaar oppervlak, waar die kromme ook weer op ligt. Afwikkeling van dit laatste oppervlak geeft als beeld van de kromme op het oppervlak een vlakke kromme, de zogenaamde spoorkromme. Of, anders gezegd: teken de kromme met natte inkt op het oppervlak en rol het door de raakvlakken omhulde afwikkelbare oppervlak zo over de vloer dat de kromme op de vloer wordt afgebeeld. De afgebeelde kromme is de spoorkromme.
Indien de spoorkromme een rechte lijn is, heet de oorspronkelijke kromme een geodeet van het oppervlak. De kortste weg tussen twee punten op het oppervlak is een geodeet. De kromming van de spoorkromme heet geodetische kromming.

Voorbeeld 183: Teken de spoorkromme van een grote cirkel op een bol (het bijbehorende door de raakvlakken omhulde oppervlak is hier een rechte cirkelcylinder), en ook de spoorkromme van een kleine cirkel (het bijbehorende door de raakvlakken omhulde oppervlak is dan een rechte cirkelkegel).
Welke zijn dus de geodeten van de bol?


In het volgende zullen we vergelijkingen afleiden om de geodeten van een oppervlak uit te rekenen.


Definitie 184: De geodetische kromming van een kromme x(s) op een oppervlak is de lengte van de tangentiële component van de kromtevector x .., dus

κgeod = ||x .. - (x ..).N|| = |κ| ||n - (n.N)N||,

waarbij κ de kromming van x(s), n de hoofdnormaal van deze kromme, en N de oppervlaktenormaal.
Er geldt ook κ2 = k2 + κgeod2, waarbij k de normale kromming is.

Definitie 185: Een kromme op het oppervlak heet geodeet van dat oppervlak indien de geodetische kromming in alle punten van de kromme 0 is.

Stelling 186: Definieer de Christoffelsymbolen Γijk en γijk door
xuiuj = Γij1 xu1 + Γij2 xu2 + hij N,
γijk = xuiuj . xuk = Γij1 a1 k + Γij2 a2 k .
Dan vindt men de geodeten x(u1(s),u2(s)) door oplossen van

Γ11k (u1.)2 + 2 Γ12k (u1. u2.) + Γ22k (u2.)2 + uk.. = 0 (k=1,2).

Bewijs: Reken na dat
x .. = (xu1u1 u1. + xu1 u2 u2.) u1. + xu1 u1.. + (xu1u2 u1. + xu2 u2 u2.) u2. + xu2 u2...
De tangentiële component van x .. moet 0 zijn. Dit geeft de vergelijkingen.


Stelling 187: Christoffelsymbolen zijn intrinsieke grootheden en het begrip geodeet is een buigingsinvariant begrip, want
2 γijk = (δ/δui) aj k + (δ/δuj) ai k - (δ/δuk) ai j.

Bewijs: Uit ai k = xui . xuk volgt (δ/δuj) ai k = γijk + γkji.


Opmerking 188: Volgens de theorie der differentiaalvergelijkingen gaat er door een gegeven punt van het oppervlak in elke richting precies één geodeet. Ook gaat door elk tweetal punten op het oppervlak een geodeet die de kortste verbindingsweg over het oppervlak is tussen die twee punten.


Opgave 189: Bewijs dat de geodeten op de cylinder (a cos(v), a sin(v), u) zijn: de rechte cirkelschroeflijnen, de cirkels en de beschrijvenden.

Opgave 190: Bepaal de geodeten op de omwentelingsparaboloïde (u cos(v), u sin(v), (1/2)u2).

Opgave 191: Bepaal de geodeten op de rechte cirkelkegel.

Opgave 192: De hoofdnormaal van een geodeet is tevens oppervlaktenormaal, dus het osculatievlak bevat de oppervlaktenormaal.
Bewijs nu dat een asymptotische lijn die tevens geodeet is, een rechte moet zijn (zie 142).
Zijn de parallelcirkels van een willekeurig omwentelingsoppervlak geodeten? En de meridiaankrommen?


uitwerkingen


HOME