CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


15. DE TWEEDE FUNDAMENTAALVORM


Definitie 132 : Zij x(u,v) een oppervlak, en zij N(u,v) de eenheidsnormaal (in de richting van xuxv).
Zij hi j = xuiuj . N (met u1 = u, u2 = v).
Dan heet h1 1 (du)2 + 2 h1 2 du dv + h2 2 (dv)2 de tweede fundamentaalvorm.


Toelichting 133 : Zij α het raakvlak in het punt xo met parameterwaarden uo en vo, en α ' het vlak evenwijdig aan α op (kleine) afstand γ van α, en zij k de snijkromme van α ' met het oppervlak.

De punten op k voldoen aan x = x(u,v) en aan (x - xo + γN) . N = 0.
Met Taylor vinden we x - xo = xu du + xv dv + (1/2) xu u (du)2 + xu v du dv + (1/2) xu v (dv)2.
Omdat xu en xv loodrecht staan op N, wordt de vergelijking in tweede benadering:
((1/2) xu u (du)2 + xu v du dv + (1/2) xu v (dv)2) . N = - γ, dus h1 1 (du)2 + 2 h1 2 du dv + h2 2 (dv)2 = -2γ.
Dit is (in coördinaten ten opzichte van de niet noodzakelijk orthonormale basis xu , xv) de vergelijking van een kegelsnede , waarbij het linkerlid de tweede fundamentaalvorm is.


Definitie 134 : De kegelsnede h1 1 (du)2 + 2 h1 2 du dv + h2 2 (dv)2 = 1 heet indicatrix van Dupin.

Naar de aard van de indicatrix onderscheidt men:

1. hyperbolische punten: det(hi j) negatief. (Dan is de vorm ontbindbaar in lineaire factoren, en Σ hi j du dv = 0 geeft de asymptotische richtingen, vergelijk de cursus projectieve meetkunde).

2. parabolische punten: det(hi j) = 0. (Indicatrix bestaat uit twee evenwijdige lijnen; bijvoorbeeld (2du + 3dv)2 = 1 geeft du = +(1/2) - (3/2)dv, dus indicatrix xu (+(1/2) - (3/2)t) + xv t.

3. elliptische punten: det(hi j) positief. (Dan is de vorm onontbindbaar en zijn er geen asymptoten).


Opgave 135 : Kent u een oppervlak waarbij elk punt navelpunt (umbilicaalpunt) is, dwz dat de indicatrix in elk punt een cirkel is? Reken dit na.
Kent u een oppervlak waarbij elk punt planair is, dwz dat de tweede fundamentaalvorm overal identiek 0 is? Reken dit na.

Opgave 136 : Bereken de tweede fundamentaalvorm van de torus en reken na dat det(hi j) = R cos(φ) (r + R cos(φ)).
Leid hieruit af dat de punten aan de binnenkant van deze fietsbinnenband hyperbolisch zijn, en die aan de buitenkant elliptisch . De punten op de cirkels φ = +π/2 zijn parabolisch.

Opgave 137 : Beschouw het rechte schroefoppervlak ((a+u)cos(v), (a+u)sin(v), bv), vergelijk 128.
Laat zien dat de parameterlijnen asymptotische lijnen zijn (dwz in elk punt een asymptotische richting hebben), en een orthogonaal net vormen, zodat elk punt hyperbolisch is met een orthogonale hyperbool als indicatrix.

Opgave 138 : Bewijs dat a1 1h2 2 - 2 a1 2h1 2 + a2 2h1 1 = 0 de nodige en voldoende voorwaarde is opdat in elk hyperbolisch punt de indicatrix een orthogonale hyperbool is. (Zie stelling 120.)


uitwerkingen


HOME