14. TORUS EN SCHROEFOPPERVLAK

Toelichting 121 : In deze paragraaf maakt u kennis met enkele interessante nieuwe oppervlakken. Daarna enkele herhalings- en uitbreidingsopgaven over oppervlakken in het algemeen.

Definitie 122 : Zij C de cirkel in het x,y-vlak met straal r en middelpunt (0,0,0). De torus is de meetkundige plaats der cirkels met straal R (kleiner dan r) en middelpunt op C, gelegen in een vlak door de z-as.

Toelichting 123 : De torus is een soort opblaasband of reddingsboei die bij het zwemmen gebruikt wordt.

Opgave 124 : Laat zien dat een parametrizering van de torus gegeven wordt door (x,y,z) = (r cos θ + R cos θ cos φ, r sin θ + R sin θ cos φ, R sin φ).
Hoe zien de parameterlijnen er uit?
Reken na dat de eerste fundamentaalvorm luidt: (ds)² = R² (dφ)² + (r² + R²cos²φ + 2rR cos φ) (dθ)².
Vormen de parameterlijnen een orthogonaal net?

Definitie 125 : Een schroefoppervlak (met als as de z-as) heeft een parametrizering van de vorm (x,y,z) = (u cos v, u sin v, f(u) + hv) (h constant).
Als h=0 heeft men een omwentelingsoppervlak.

Toelichting 126 : Een schroefoppervlak ontstaat door het "schroeven" van een vlakke kromme (u, 0, f(u)) om de z-as.
De u-lijnen zijn congruent met deze kromme, de v-lijnen zijn cirkelschroeflijnen.

Opgave 127 : Laat zien dat het lijn-element van een schroefoppervlak gegeven wordt door (ds)² = (1 + (f ' )²) (du)² + 2 h f ' du dv + (u² + h²) (dv)².
In welke gevallen vormen de parameterlijnen een orthogonaal net?

Opgave 128 : Neem in 125 f(u) = 0. Bepaal de krommen op dit rechte schroefoppervlak die een hoek van 45 graden maken met de v-lijnen.

Opgave 129 : Bepaal het lijnelement van (a(u+v), b(u-v), uv) en de meetkundige plaats van de punten waar de parameterlijnen elkaar loodrecht snijden.

Opgave 130 : Bewijs dat de krommen die in elk van hun punten gelijke hoeken maken met de parameterlijnen tot differentiaalvergelijking hebben: a_{1 1} (du)² = a_{2 2} (dv)². Dit is het zogenaamde bissectrixnet.

Opgave 131 : Bewijs dat het net (du)² = (dv)² op (a (cos u + cos v), a (sin u + sin v), b(u + v)) orthogonaal is.

uitwerkingen