CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE
13. ISOGONALE NETTEN
Toelichting 114 : Een kromme op het oppervlak x(u1,u2) kan gegeven worden door de toegevoegde vergelijking φ(u1,u2) = λ ;
bv (u cos(v), u sin(v), u3) en u2 + v = 4 geven de kromme met parametervoorstelling (u cos(4-u2), u sin(4-u2), u3).
Een familie krommen zodat door elk punt van het oppervlak precies één exemplaar gaat, en die gegeven wordt door de vergelijkingen φ(u1,u2) = λ,
λ ∈ I (waarbij φ een vaste functie en I een interval op de reële as) heet een stelsel krommen op het oppervlak.
Men kan nu bijvoorbeeld vragen naar een ander stelsel krommen op het oppervlak zó dat door elk punt van het oppervlak van beide stelsels één kromme gaat, terwijl deze twee
krommen elkaar onder een vaste hoek snijden.
Men spreekt dan van een isogonaal net. In het bijzondere geval dat de vaste hoek negentig graden is, spreekt men van een orthogonaal net en heten
beide stelsels elkaars orthogonale trajectoriën.
Toelichting 115 : Stel dat de kromme x(u1(t),u2(t)) op het oppervlak tevens gegeven wordt door een vergelijking φ(u1,u2) = λ.
Dan geldt dus voor alle t dat φ(u1(t),u2(t)) = λ, en derhalve φu1du1/dt + φu2du2/dt = 0.
De raakvector xu1du1/dt + xu2du2/dt is dan dus evenredig met
-φu2xu1 + φu1xu2.
Toelichting 116 : De isogonale trajectoriën van een stelsel φ(u1,u2) = λ op het oppervlak x(u1,u2) vindt men als volgt:
stel dat x(u1(t),u2(t)) zo'n trajectorie is, en α de vaste hoek; dan moet gelden (zie 107 ii))
cos(α) = (-φu2du1 a1 1 -φu2du2 a1 2 +φu1du1 a1 2 +φu1du2 a2 2)/(√(a1 1φu22 - 2a1 2φu1φu2 + a2 2φu12).√(a1 1du12 + 2 a1 2du1 du2 + a2 2du22)).
Oplossen van deze differentiaalvergelijking geeft de isogonale trajectoriën bij α in de vorm ψ(u1,u2) = μ.
Is in het bijzonder α negentig graden, dan wordt de differentiaalvergelijking
du1/du2 = (a2 2φu1 - a1 2φu2)/(a1 1φu2 - a1 2φu1).
Opgave 117 : Bepaal de orthogonale trajectoriën van de v-lijnen u=λ van (u+v,u-v,uv).
Opgave 118 : Bepaal de krommen op de bol die een vaste hoek α maken met de parallelcirkels (loxodromen van de bol).
Toelichting 119 : Een kwadratische vergelijking in du1 en du2, zeg
c1 1du12 + 2 c1 2du1 du2 + c2 2du22 = 0, bepaalt in elk punt (u1,u2) twee
richtingen (mits de wortels van de vergelijking reëel zijn).
Elk der oplossingen du1/du2 = ψui(u1,u2) (i=1,2) bepaalt een stelsel krommen op het oppervlak, zodat de kwadratische vorm een net
bepaalt. Zo bepaalt du1 du2 = 0 het net der parameterlijnen.
Stelling 120 : Het net c1 1du12 + 2 c1 2du1 du2 + c2 2du22 = 0 op een oppervlak
met eerste fundamentaalvorm a1 1du12 + 2 a1 2du1 du2 + a2 2du22 is precies dan orthogonaal als
a1 1c2 2 - 2 a1 2c1 2 + a2 2c1 1 = 0.
Bewijs : In 'elk' punt heeft de vierkantsvergelijking c1 1 + 2 c1 2du2/du1 + c2 2(du2/du1)2 = 0 twee
oplossingen du2/du1 = ψ1 en du2/du1 = ψ2, waarbij ψ1+ψ2 = -2c1 2/c2 2 en
ψ1ψ2 = c1 1/c2 2.
De eis van orthogonaliteit wordt nu
(xu1 + xu2ψ1).(xu1 + xu2ψ2) = 0,
dus a1 1 - a1 2(ψ1+ψ2) + a2 2ψ1ψ2 = 0, dus
a1 1c2 2 - 2 a1 2c1 2 + a2 2c1 1 = 0.