CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


11. OPPERVLAKKEN


Definitie 93 : Een oppervlak is het bereik van een functie I X J → ℜ3, waarbij I en J intervallen op de reële as zijn.
We veronderstellen de functie in elk concreet geval zo vaak continu-differentieerbaar als in dat concrete geval nodig is.
We schrijven x(u1,u2) = (x1(u1,u2), x2(u1,u2), x3(u1,u2)).
Eenzelfde oppervlak kan op verschillende manieren geparametrizeerd worden.
We veronderstellen nog dat in elk punt x(a,b) de raakvectoren aan de parameterlijnen u1=a en u2=b, namelijk xu1(a,b) en xu2(a,b) lineair onafhankelijk zijn, tenzij anders vermeld.

Toelichting 94 : De parameterlijn u1=a is de kromme x(a,u2) met in x(a,b) raakvector xu2(a,b).

Voorbeelden 95 :

i) De bol met straal R en middelpunt m heeft parametizering x(θ,φ) = m + R(sin(θ)cos(φ), sin(θ)sin(φ), cos(θ); dus x1(θ,φ) = m1 + R sin(θ)cos(φ), etc.
ii) Het omwentelingsoppervlak x(u,v) = (u cos(v), u sin(v), f(u)), waarbij f een functie van u is, ontstaat door wenteling van de kromme (u, 0, f(u)) om de x3-as.
iii) De grafiek van een functie f(u,v) van twee variabelen heeft parametrizering (u, v, f(u,v)).


Stelling 96 : Lokaal is ieder oppervlak parametrizeerbaar in de vorm 95 iii), met andere woorden: het wordt lokaal beschreven door een vergelijking van de vorm x3 = f(x1, x2) (of x2 = f(x1, x3) of x1 = f(x2, x3))
Bewijs : Volgens de impliciete functiestelling zijn u1 en u2 door de vergelijkingen x1 = x1(u1,u2) en x2 = x2(u1,u2) impliciet bepaald als functies van x1 en x2. Substitutie in x3 = x3(u1,u2) geeft het verlangde resultaat.

Toelichting 97 : In het bewijs van stelling 96 gebruiken we de derde voorwaarde van definitie 93. Een punt waar xu1 en xu2 lineair afhankelijk zijn heet singulier punt van de parametervoorstelling.
Zo zijn de punten waar θ=0,π singuliere punten van de parametrisering van de bol in 95 i).


Stelling 98 : Het raakvlak in x(a,b) heeft richtingsvectoren xu1(a,b) en xu2(a,b), dus de normaal op het oppervlak heeft richtingsvector xu1xu2(a,b).
Bewijs : Het raakvlak wordt opgespannen door de raaklijnen in x(a,b) aan de parameterlijnen.


Opgave 99 : Beschrijf de parameterlijnen in de voorbeelden 95 i), ii) en iii) in meetkundige bewoordingen.

Opgave 100 : Beschouw het oppervlak met parametrizering x = (u, uv, uv2).

i) Beschrijf de u-lijnen (v=c) in meetkundige termen.
ii) Is er een singulier punt? Zou dit punt bij een andere parametrizering regulier kunnen zijn?
iii) Geef de vergelijking van het raakvlak in een regulier punt x(u,v).
iv) Bewijs dat het raakvlak langs een u-lijn (beschrijvende van de kegel) constant is.

Opgave 101 : Geef de vergelijkingen x3 = f(x1, x2) voor de voorbeelden 95 i), ii) en iii).

Opgave 102 : Geef de raakvlakken in de voorbeelden 95 i), ii) en iii).


uitwerkingen


HOME