10. OUDE DEELTENTAMENS

OPGAVE 88 : Gegeven is de kromme K met parametervoorstelling ((1/2)√3 sin(t) -(1/2)t, cos(t), (1/2)sin(t) + (1/2)√3).
a) Bereken de booglengtefunctie s(t) (beginpunt (0,1,0)) en de krommingsfunctie κ(t).
b) Bewijs dat de kromme een cirkelschroeflijn is door de matrix van een lineaire afbeelding (hier een zogenaamde 'draaispiegeling') te geven die K overvoert in de cirkelschroeflijn (cos(t), sin(t), t).

OPGAVE 89 : Bereken een vergelijking van de bol die in (1,1,1) maximaal contact maakt met de kromme (t, t⁴, t²) (hint: u hoeft booglengte, kromming en torsie niet te berekenen).

OPGAVE 90 :
a) Stel dat bij een kromme K₁ een kromme K₂ behoort zodat bij elk punt P₁ op K₁ een punt P₂ op K₂ behoort zó dat de binormaal van K₁ behorende bij P₁ door P₂ gaat en ligt in het osculatievlak van K₂ behorende bij P₂.
Leid een differentiaalvergelijking af waaraan de krommingsfunctie κ(s) en de torsiefunctie τ(s) van K₁ en de functie λ(s) die de afstand tussen P₁ en P₂ weergeeft moeten voldoen.
b) Leg uit hoe u te werk zou zijn gegaan indien in a) had gestaan "rectificerend vlak" in plaats van "osculatievlak". Werk zoveel mogelijk uit. Wat komt er als λ constant is?

OPGAVE 91 : Gegeven is de kromme K₁ : x(t) = (3 sin(t), 4t, 3 cos(t)).
a) Geef een parametrisering van K₁ naar booglengte s.
b) Geef voor elke s de vectoren t(s), n(s), b(s).
c) Geef een vergelijking van het vlak dat in x(t) maximaal contact maakt met K₁. Uitwerken!
d) Geef een parametrisering van een kromme K₂ die op dezelfde cylinder ligt als K₁ en met K₁ een paar krommen van Bertrand vormt.
e) Welke hoek maken de raaklijnen in corresponderende (partner-)punten op K₁ en K₂ met elkaar?

OPGAVE 92 : Gegeven is een kromme K₁ met kromming κ(s) en torsie τ(s). Verder een getal α ∈ (0,π/2).
Stel dat men voor elke s een lijn in het rectificerend vlak 'te s' kan kiezen die een hoek α maakt met de raaklijn te s en zó dat deze lijnen binormalen zijn van een kromme K₂. Wat weet u dan van K₁?
Motiveer uw antwoord met berekeningen en beredeneringen. Bereken ook voor elke s de afstand tussen beide partnerpunten op K₁ en K₂.

uitwerkingen