CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


1. VECTOREN


Definitie 1: Beschouw punten X, Y, ... in de ruimte. Zij XY het gerichte lijnstuk van X naar Y (X heet staart en Y heet kop). Dit heeft dus een lengte en een richting (behalve als X=Y).
Noem twee lijnstukken equivalent als zij even lang en gelijk gericht zijn, of beide lengte 0 hebben. Een equivalentieklasse heet vector (die der lijnstukken met lengte 0 heet nulvector, 0).

Zij O een vast punt in de ruimte (oorsprong). Bij elk punt X hoort precies één vector x met representant OX. OX heet hoofdrepresentant van x, en x heet plaatsvector van X.

De lengte van een vector x, genoteerd ||x||, is de lengte van elk van zijn representanten.

Definitie 2: Is a een vector en λ een reëel getal, dan is λa de vector met ||λa|| = |λ| ||a||, gelijkgericht met a indien λ > 0, en tegengesteld gericht indien λ < 0.

Optelling van vectoren geschiedt met de staart-op-kop-methode (parallellogrammenregel)

Opmerking 3:
(vectorvoorstelling van een lijn)
de vectoren sv (λ ∈ ℜ) zijn plaatsvectoren van punten op een lijn (s heet steunvector en v richtingsvector van deze lijn).

Zijn A en B willekeurige punten, dan zijn de plaatsvectoren van de punten op de lijn door A en B alle van de vorm a+λ(b-a).
Ga na: XY+YZ=XZ, dus AB=OB-OA=b-a.

(coördinaten in een vlak)
Stel dat O, A en B niet op één lijn liggen. Zij X een willekeurig punt in het vlak α door O, A en B. Dan is X eenduidig te schrijven in de vorm λab voor zekere reële getallen λ en μ; λ en μ heten coördinaten van x ten opzichte van basis a, b.

(vectorvoorstelling van een vlak)
De vectoren svw zijn in het algemeen plaatsvectoren van punten in een vlak.

De plaatsvectoren van de punten in het vlak door drie niet-collineaire punten A, B en C zijn alle van de vorm a+λ(b-a)+μ(c-a).

(coördinaten in de ruimte)
Stel dat O, A, B en C niet in één vlak liggen. Zij X een willekeurig punt in de ruimte. Dan is x eenduidig te schrijven in de vorm λabc voor zekere reële getallen λ, μ en ν (coördinaten van x ten opzichte van basis a, b, c.
Indien a, b en c lengte 1 hebben en twee aan twee loodrecht op elkaar staan, heet de basis orthonormaal.

(natuurlijke coördinaten)
We gaan uit van een vaste orthonormale basis e1, e2, e3, waarbij e3 volgens kurketrekkerregel hoort bij e1 en e2. Voor x=x1e1+x2e2+x3e3 noteren we x=(x1,x2,x3).

Stel x=(x1,x2,x3) en y=(y1,y2,y3). Dan is, voor elk reëel getal λ, λx= (λx1,λx2,λx3) en x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3).
Voor de afstand tussen x en y geldt volgens Pythagoras dat deze gelijk is aan ||x-y||=√((x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2).

Definitie 4: Het inproduct (scalair product) van x en y is het getal x.y := x1y1+x2y2+x3y3.
Het uitproduct (vectorproduct) van x en y is de vector xy := (x2y3-x3y2,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1).

Opgave 5: Bewijs met de cosinusregel (driehoeksmeetkunde) dat x.y=||x||.||y||.cos(φ), waarbij φ de hoek is tussen x en y.
Bewijs met het inproduct dat xy loodrecht staat op x en y.

Opmerking 6: (vergelijkingen van een vlak)
Zij n een willekeurige vector, ongelijk aan 0. De punten X waarvan de plaatsvectoren voldoen aan x.n=0 liggen in het vlak door 0 loodrecht op n. Elk vlak met vergelijking x.n=c (met c∈ℜ) is evenwijdig aan dit vlak.

Opgave 7: Bewijs de identiteiten det(a,b,c)=ab.c en a⊗(bc)=(a.c)b-(a.b)c.
Bewijs vervolgens dat det(x-a,b-a,c-a)=0 en (x-a).((b-a)⊗(c-a))=0 vergelijkingen zijn van het vlak door A, B en C.

Opgave 8: Bewijs dat als b1, b2, b3 een orthonormale basis is, en x1b12b23b3, dan x.bii.

Opgave 9: Stel dat x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t)), waarbij x1,x2 en x3 differentieerbare functies zijn van een reële parameter t die een interval I doorloopt. Idem y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t)).
Noteer xi'(t) := (d/dt) xi(t) en x'(t)=(x1'(t),x2'(t),x3'(t)), etc.
Bewijs:
a) (d/dt) x(t).y(t) = x'(t).y(t)+x(t).y'(t).
b) Als ||x(t)||=1 voor t∈I, dan staat x(t) loodrecht op x'(t) voor t∈I.
c) (d/dt) x(t)⊗y(t) = x'(t)⊗y(t)+x(t)⊗y'(t).


HOME